1.2.4    Die Erfindung des Galton-Brettes und die Entwicklung des Konzeptes der Korrelation
 

 
Nachdem Galton die Arbeit an Hereditary Genius beendet hatte, begann er sich mit dem Auftreten der Normalverteilung in seinen empirischen Daten auseinanderzusetzen. Ein Hauptproblem ergab sich dabei für ihn. Er konnte zwar das Auftreten der Normalverteilung in seinen Daten erkennen, er konnte dies aber nicht in Verbindung mit der Vererbung von Eigenschaften von Generation zu Generation bringen. Es erschien ihm sogar so, als ob die klassische Fehlertheorie seiner Auffassung der Vererbung widerspräche. Wenn menschliche Eigenschaften in jeder Generation der Normalverteilung unterliegen, da sie das Ergebnis einer großen Anzahl von kleinen unabhängigen Einflüsse waren, wie konnte dann ein einzelner Faktor – die Eltern – einen meßbaren Einfluß haben? Und warum wurde die Variabilität der Eigenschaften einer Rasse nicht größer?

„At first glance the beautiful curve Galton had found in Quetelet’s work stood as a denial of the possibility of inheritance.”^[228]

Die Formulierung der Regression^[229] und ihr Zusammenhang mit der bivariaten Gaußverteilung sollten die Antwort auf diese Fragen bringen. Eine erste Formulierung seines Gesetzes über die Verberbung präsentierte Galton in Hereditary Genius. Das unter dem Namen „Galton’s law of ancestral heredity“ bekannte Gesetz, kommt in der folgenden Tabelle (Abb. 19) zum Ausdruck:

Abbildung 19

Aus der Tatsache, daß die Anzahl bedeutender Mitglieder einer Familie von Generation zu Generation um den Faktor vier abnahm, schloß Galton, daß der Hang, bedeutenden Menschen einen vererbbaren Titel zu verleihen, keinen Sinn machte, da die Begabung nicht im gleichen Maße vererbt würde, wie der Titel. Kurios an dieser Feststellung ist, daß Galton einige Jahre später geadelt wurde und diesen Titel annahm, obwohl er von dem Sinn dieser Titelverleihung offenkundig nicht überzeugt war.

Von dieser groben Formulierung des Gesetzes über die Vererbung bis zur endgültigen Formulierung des Konzeptes der Regression im Jahre 1889, aus dem das mathematische Konzept der Korrelation abgeleitet wurde, hat Stigler vier wichtige Etappen ausgemacht:

„There are four basic stages: his initial investigation in 1874 – 75 of the condition that would produce the law of error; his experiments with sweet peas, which led to his 1877 formulation of an empirical law of reversion (as regression was first called); his discovery in 1885 of a mathematical framework encompassing regression (after gathering extensive data on human populations); and his elaboration on all this in Natural Inheritance in 1889.”^[230]

Bei der Beschäftigung mit der Gaußverteilung setzte Galton sich zunächst mit den Bedingungen auseinander, die für ihr Auftreten bisher formuliert worden waren. Laplace hatte als Bedingung für ihr Auftreten die Unabhängigkeit und die identische Verteilung vorausgesetzt. Diese Bedingungen jedoch waren zu einschränkend für die Anwendung auf die Vererbung und für die Analyse empirischer Daten, die bei der Untersuchung menschlicher Eigenschaften gewonnen wurden. Er wollte beweisen, daß die Bedingungen von Laplace hinreichend, aber nicht notwendig waren. 1875 schrieb er:

„Considering the importance of the results which admit of being derived whenever the law of frequency of error can be shown to apply, I will give some reasons why its applicability is more general than might have been expected from the highly artificial hypotheses upon which the law is based. It will be remembered that these are to the effect that individual errors of observation, or individual differences in objects belonging to the same generic group, are entirely due to the aggregate of variable influences in different combinations, and that these influences must be

     (1) all independent in their effects,

                                   (2) all equal

                                   (3) all admitting of being treated as simple alternatives ‘above average’ 

     and ‘below average;’ and

                                   (4) the usual Tables are calculated on the further supposition that 

     variable influences are infinitely numerous.”^[231]

Er fuhr dann fort und formulierte die Schwierigkeit, die er für die Anwendung der Gaußverteilung auf soziale Phänomene sah:

„The first three of the above-mentioned conditions may occur in games of chance, but they assuredly do not occur in vital and social phenomena; nevertheless it has been found in numerous instances, where measurement was possible, that the latter conform very fairly, within the limits of ordinary statistical inquiry, to calculations based on the (exponential) law of frequency of error. It is a curious fact, which I shall endeavour to explain, that in this case a false hypothesis, which is undoubtedly a very convenient one to work upon, yields true results.”^[232]

Später zog Galton auch die vierte Bedingung in Zweifel. Er argumentierte, daß die Anzahl der Einflüsse nicht infinitely numerous sein mußte. In einer Tabelle zeigte er, daß schon für n=17 die Binomialverteilung und Gaußverteilung für den praktischen Gebrauch sich beinahe entsprechen.

An einem Beispiel versuchte Galton den Unterschied der von Laplace geforderten Bedingungen für das Auftreten der Gaußverteilung und den Bedingungen, die in der Natur gegeben waren, aufzuzeigen. Beim Wachstum von Früchten ist die Lichteinwirkung ein entscheidender Faktor. Wächst nun dieselbe Fruchtsorte an unterschiedlichen Standorten, werden die Früchte im Durchschnitt unterschiedlich groß sein. Warum sollte die ganze Ernte der Normalverteilung folgen? „The question is, why a mixture of series radically different, should in numerous ranges give results apparently identical with those of a simple series.”^[233]

Versuchsreihen mit Erbsen und die Erfindung des Galton-Brettes sollten Galton einen großen Schritt weiterbringen bei der Lösung dieser von ihm aufgeworfenen Probleme.

Wann das Galton-Brett erdacht und gebaut wurde ist nicht genau zu klären. Sicher ist nur, daß es am 17. Februar 1874 fertiggestellt war. Galton berichtete, daß er es an diesem Tag in einer Vorlesung bei der Royal Society eingesetzt hat. Gebaut wurde es vermutlich 1873 von Tilsey &Spiller. Die folgende Abbildung 20 ist ein Foto des Originalbrettes, das sich heute in den Galton Laboratories in London befindet. Die Originalaufschrift des Brettes lautet: 

Abbildung 20

Unter der Überschrift Mechanical Illustration of the causes of the Curve of Frequency erläuterte Galton in seinem Buch Natural Inheritance die Funktionsweise des von ihm erfundenen Brettes.^[235] In den folgenden Zeichnungen, die er dazu nutzte, ist das Galton-Brett in Figur I. schematisch dargestellt:

Abbildung 21

Das Galton-Brett, das 1873 konstruiert wurde, und seine Nachfolger beruhen auf dem gleichen Prinzip.^[236] Metallkugeln - Galton verwendete Schrotkugeln - werden zunächst in eine trichterförmige Vorrichtung am oberen Ende des Brettes gefüllt. Diese Vorrichtung stellt sicher, daß jeweils nur eine Kugel den Trichter am unteren Ende verlassen kann. Die Schwerkraft veranlaßt die Kugeln nach unten zu rollen. „The shot passes through the funnel and issuing from its narrow end, scampers deviously down through the pins in a curious and interesting way; each of them darting a step to the right or left, as the case may be, every time it strikes a pin.”^[237]

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